Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 10 = 0\) song song với nhau. Biết \(A\left( {1;2;1} \right)\) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng khi \(\left( S \right)\) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta thấy \(M\left( {1;0;0} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( P \right)\).
Vì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) nên
\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4\).
Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\).
Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \frac{{d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Do đó \(IA = 2\) nên I luôn thuộc mặt cầu \(\left( T \right)\) tâm A, bán kính 2.
Ngoài ra, \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2a - b - 2c - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2a - b - 2c + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {2a - b - 2c - 2} \right| = \left| {2a - b - 2c + 10} \right| \Leftrightarrow 2a - b - 2c - 2 = - \left( {2a - b - 2c + 10} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2a - b - 2c + 4 = 0\).
Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng \(\left( R \right):2x - y - 2z + 4 = 0\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên \(\left( R \right)\). Vì A, \(\left( R \right)\) cố định nên H cố định.
Ta có \(AH = d\left( {A,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 - 2.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Mà \(AH \bot \left( R \right) \Rightarrow AH \bot HI\), do đó \(\Delta AHI\) vuông tại H nên
\(HI = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng \(\left( R \right)\), bán kính \(r = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\). Chọn A.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giả sử \(M(x;y;z) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM} = (x;y;z + 1)\,\,\,\,\,\,}\\{\overrightarrow {BM} = (x + 1;y - 1;z)}\\{\overrightarrow {CM} = (x - 1;y;z - 1)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{M^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{B{M^2} = {{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}}\\{C{M^2} = {{(x - 1)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \right] + 2\left[ {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right] - \left. {\left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + } \right.{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)
\( = 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} + 6x - 4y + 8z + 5 = {\left( {2x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {(2y - 1)^2} + {(2z + 2)^2} - \frac{9}{4} \ge - \frac{9}{4}\).
Dấu "\( = \)" xảy ra \( \Leftrightarrow x = - \frac{3}{4},y = \frac{1}{2},z = - 1\), khi đó \(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).
Do đó ta điền như sau
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)\). Biết \(M\) là điểm thỏa mãn \(P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng (1) \( - \frac{9}{4}\).
Lời giải
Theo giả thiết ta có \(I\left( 1 \right) = A = 500\).
Ngày thứ 10 có 1000 ca nên \(I\left( {10} \right) = A.{e^{9{r_0}}} \Leftrightarrow 1000 = 500.{e^{9{r_0}}} \Leftrightarrow {r_0} = \frac{{\ln 2}}{9}\).
Vậy ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh là \(I\left( {20} \right) = 500.{e^{\frac{{19\ln 2}}{9}}} \approx 2160\). Chọn B.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập