Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\), với \(m\) là tham số.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi \(m < 3\).
Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu là \(y = \left( {\frac{{2m}}{3} - 2} \right)x + \frac{m}{3} + 1\).
Khoảng cách từ điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{4}} \right)\) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{5}{4}\).

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\).

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0\) hay

\(9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

Chia đa thức \(y\) cho \(y'\), ta được: \(y = y'.\left( {\frac{x}{3} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{{2m}}{3} - 2} \right)x + \frac{m}{3} + 1\).

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right),\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).

Vì \(y'\left( {{x_1}} \right) = 0,y'\left( {{x_2}} \right) = 0\) nên phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua hai điểm cực đại, cực tiểu là

\(y = \left( {\frac{{2m}}{3} - 2} \right)x + \frac{m}{3} + 1\) hay \(y = \frac{m}{3}\left( {2x + 1} \right) - 2x + 1\).

Với \(x =  - \frac{1}{2}\) ta có \(y = 2\). Do đó đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\).

Hệ số góc của đường thẳng \(IA\) là \(k = \frac{3}{4}\). Kẻ \(IH \bot {\rm{\Delta }}\) ta thấy \(d\left( {I;{\rm{\Delta }}} \right) = IH \le IA = \frac{5}{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(IA \bot {\rm{\Delta }}\) hay \(\frac{{2m}}{3} - 2 = \frac{{ - 1}}{k} = \frac{{ - 4}}{3} \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \({\rm{max}}d\left( {I;{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{5}{4}\) khi \(m = 1\).