Câu hỏi:

30/10/2024 152

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)$, $D\left( {2; - 2;0} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a + c = $ (1) _; b = (2) __.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 20) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)$, $D\left( {2; - 2;0} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a + c = $ (1) ___1____; b = (2) ____0___.

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)$, $D\left( {2; - 2;0} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a + c = $ (1) _______; b = (2) ________. (ảnh 1)$

Gọi ${C_{ABM}}$ là chu vi của tam giác $ABM$.

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3; - 10} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {113} $

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3; - 10} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 2 + 12 - 10 = 0 \Rightarrow AB \bot CD$

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $CD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và đường thẳng $CD$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( { - 1;1;6} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {CD} = \left( {1; - 4;1} \right)$ là: $x - 4y + z - 1 = 0$.

Phương trình đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 4t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.$

Vì $H \in CD$ nên $H\left( {1 + t;2 - 4t; - 1 + t} \right)$.

Mà $H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t - 4\left( {2 - 4t} \right) - 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)$

Với $\forall M \in CD$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \ge AH}\\{BM \ge BH}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow AM + BM \ge AH + BH$.

${C_{ABM}} = AB + AM + BM \ge \sqrt {113} + AH + BH,\forall M \in CD$.

Suy ra ${\rm{min}}{C_{ABM}} = \sqrt {113} + AH + BH$, đạt được $M \equiv H \Leftrightarrow M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

$Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng. (ảnh 1)$

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào $AD$ là 125 mét.

Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là 7 triệu đồng.

Diện tích khu đất lớn nhất bằng $5200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào $AD$ là 125 mét.		X
Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là 7 triệu đồng.	X
Diện tích khu đất lớn nhất bằng $5200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.		X

Giải thích

$Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng. (ảnh 2)$

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $x\left( m \right){\rm{\;}}(x > 0)$ và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là $a\left( m \right),b\left( m \right){\rm{\;}}(a > 0;b > 0)$.

Khi đó diện tích của khu đất là $S = \left( {a + b} \right)x\left( {{m^2}} \right)$.

Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có:

$3x.40000 + \left( {a + b} \right)80000 = 20000000 \Leftrightarrow 3x + 2\left( {a + b} \right) = 500$.

Ta có $6S = 3x.2\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{[3x + 2\left( {a + b} \right)]}^2}}}{4} = \frac{{{{500}^2}}}{4} \Rightarrow S \le \frac{{31250}}{3}$.

$ \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{max}}}} = \frac{{31250}}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 125}\\{x = \frac{{250}}{3}\,\,\,}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow $ Chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là: $125.80000 = 10000000$ (đồng).

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Kẻ $AH,AK$ lần lượt vuông góc với $SB,SC$. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ là $\left( {I;R} \right)$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.	X
$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.	X

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Kẻ $AH,AK$ lần lượt vuông góc với $SB,SC$. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ là $\left( {I;R} \right)$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.   $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.   (ảnh 1)$

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC;I$ là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng $AB$ và $AC$.

Do $M$ là trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông $AHB$ nên $MA = MB = MH$.

Có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot MI$, mà $MI \bot AB,AB \cap SA = A$ nên $MI \bot \left( {SAB} \right)$. Do đó $IA = IB = IH$.

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chỉ ra được $IA = IC = IK$.

Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $A.BCHK$.

Bán kính của mặt cầu này là $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (do tam giác $ABC$ đều cạnh $a$).

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 2$. Gọi $\left( P \right),\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ trên đường thẳng $d$. Diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết $O$ là gốc tọa độ.

A. $\left( {1;\sqrt 3 } \right)$.

B. $\left( {2\sqrt 3 ;4} \right)$.

C. $\left( {\sqrt 5 ;3} \right)$.

D. $\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 6 } \right)$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}$.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Mệnh đề

Đúng

Sai

1) Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y = - 1$.

2) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36$ và hai điểm $A\left( {1;2;2} \right),B\left( {1;3;4} \right)$. Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

$Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36$ và hai điểm $A\left( {1;2;2} \right),B\left( {1;3;4} \right)$. Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right)$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)$

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2MA - MB$ là $a\sqrt b $ với $a$ bằng _ và $b$ bằng _.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $2f\left( x \right) - 3f\left( {1 - x} \right) = 4x - 1$, với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Kéo số thích hợp vào các chỗ trống sau:

$1) Biết $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = a$ (với $a$ là số nguyên). Giá trị của $a$ là _______. 2) Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = b} $ (với $b$ là số nguyên). Giá trị của $b$ là _______. 3) Biết $\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = \frac{c}{d}$ với $c,d$ là các số nguyên và $\left| {\frac{c}{d}} \right|$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $c + d$ là _. (ảnh 1)$

1) Biết $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = a$ (với $a$ là số nguyên). Giá trị của $a$ là _.

2) Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = b} $ (với $b$ là số nguyên). Giá trị của $b$ là _______.

3) Biết $\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = \frac{c}{d}$ với $c,d$ là các số nguyên và $\left| {\frac{c}{d}} \right|$ là phân số tối giản.

Giá trị của biểu thức $c + d$ là _______.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Phần tư duy toán học

Cho hàm số $f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}$. Tính $L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}$.

A. $L = {2024.2^{2024}} + 1$.

B. $L = {2023.2^{2024}} + 1$.

C. $L = {2023.2^{2023}} + 1$.

D. $L = {2024.2^{2023}} + 1$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Phần tư duy toán học

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}\). Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\).