Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) _______; b = (2) ________.

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) ___1____; b = (2) ____0___.

Giải thích

Gọi \({C_{ABM}}\) là chu vi của tam giác \(ABM\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {113} \)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  =  - 2 + 12 - 10 = 0 \Rightarrow AB \bot CD\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(CD\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(CD\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\left( { - 1;1;6} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right)\) là: \(x - 4y + z - 1 = 0\).

Phương trình đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 4t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in CD\) nên \(H\left( {1 + t;2 - 4t; - 1 + t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t - 4\left( {2 - 4t} \right) - 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

Với \(\forall M \in CD\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \ge AH}\\{BM \ge BH}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow AM + BM \ge AH + BH\).

\({C_{ABM}} = AB + AM + BM \ge \sqrt {113}  + AH + BH,\forall M \in CD\).

Suy ra \({\rm{min}}{C_{ABM}} = \sqrt {113}  + AH + BH\), đạt được \(M \equiv H \Leftrightarrow M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

    \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)