Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)$, $D\left( {2; - 2;0} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a + c =$ (1) _______; b = (2) ________.

Đáp án

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)$, $D\left( {2; - 2;0} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a + c =$ (1) ___1____; b = (2) ____0___.

Giải thích

Gọi ${C_{ABM}}$ là chu vi của tam giác $ABM$.

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {113}$

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  =  - 2 + 12 - 10 = 0 \Rightarrow AB \bot CD$

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $CD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và đường thẳng $CD$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( { - 1;1;6} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right)$ là: $x - 4y + z - 1 = 0$.

Phương trình đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 4t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.$

Vì $H \in CD$ nên $H\left( {1 + t;2 - 4t; - 1 + t} \right)$.

Mà $H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t - 4\left( {2 - 4t} \right) - 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)$

Với $\forall M \in CD$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \ge AH}\\{BM \ge BH}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow AM + BM \ge AH + BH$.

${C_{ABM}} = AB + AM + BM \ge \sqrt {113}  + AH + BH,\forall M \in CD$.

Suy ra ${\rm{min}}{C_{ABM}} = \sqrt {113}  + AH + BH$, đạt được $M \equiv H \Leftrightarrow M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)$

    $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.$