Nếu đường thẳng \[d\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[A\] thì

Đáp án đúng là: C

Vì \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}.\) Do đó \[\widehat {BAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\]

Do \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\).

Khi đó \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có \[\widehat {BAO} = 45^\circ \] nên là tam giác vuông cân tại \(B\).

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[ME \bot OE\] tại \[E.\]

Do đó tam giác \[OEM\] vuông tại \[E.\]

Gọi \[J\] là trung điểm \[OM.\]

Tam giác \[OEM\] vuông tại \[E\] có \[EJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OM\)

Suy ra \[EJ = JO = JM = \frac{{OM}}{2}.\]

Do đó ba điểm \[M,E,O\] cùng thuộc đường tròn tâm \[J,\] đường kính \(OM\).

Chứng minh tương tự, ta được ba điểm \(M,\,\,F,\,\,O\) cùng thuộc đường tròn tâm \(J,\) đường kính \(OM.\)

Vì vậy các điểm \(M,\,\,E,\,\,O,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn tâm \(J\) đường kính \(OM.\)

Do đó khẳng định (i) là đúng.

⦁ Gọi \(G\) là giao điểm của \(EM\) và \(FD\).

Tam giác \(OEF\) cân tại \(O\) (do \(OE = OF = R)\) có \(OM\) là đường phân giác (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(OM\) cũng là đường cao của tam giác \(OEF\), do đó \(OM \bot EF\).

Tam giác \(FED\) có \(FO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(ED\) và \(FO = \frac{{ED}}{2}\) nên tam giác \(FED\) vuông tại \(F\). Do đó \(EF \bot FD\).

Suy ra \(FD\,{\rm{//}}\,OM\) hay \(DG\,{\rm{//}}\,OM\).

Tam giác \(EDG\) có \(O\) là trung điểm \(ED\) và \(DG\,{\rm{//}}\,OM\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(EDG\). Khi đó \(M\) là trung điểm \(EG\) nên \(ME = MG\).

Vì \(PK\,{\rm{//}}\,ME\) (do cùng vuông góc với \(ED)\) nên áp dụng định lí Thalès, ta được \(\frac{{PK}}{{ME}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (2)

Từ (1), (2), ta suy ra \(\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{PK}}{{ME}}.\)

Mà \(ME = MG\) nên \(PF = PK\) hay \(P\) là trung điểm của \(FK.\)

Vì vậy \(PF = PK = \frac{{FK}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Do đó khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.