Câu hỏi:

13/11/2024 4,902 Lưu

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] đường kính \[BC,\] lấy điểm \[A \in \left( O \right).\] Gọi \[H\] là trung điểm của \[AC.\] Tia \[OH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[M.\] Từ \[A\] vẽ tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] cắt tia \[OM\] tại \[N.\] Cho các khẳng định sau:

(i) \[OH \cdot ON = {R^2}.\]

(ii) \[CN\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right).\]

Kết luận nào sau đây là đúng nhất?

A. Chỉ (i) đúng.

B. Chỉ (ii) đúng.

C. Cả (i) và (ii) đều đúng.

D. Cả (i) và (ii) đều sai.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Cho đường tròn  ( O ; R )  đường kính  B C ,  lấy điểm  A ∈ ( O ) .  Gọi  H  là trung điểm của  A C .  Tia  O H  cắt đường tròn  ( O )  tại  M .  Từ  A  vẽ tiếp tuyến với đường tròn  ( O )  cắt tia  O M  tại  N .  Cho các khẳng định sau: (ảnh 1)

⦁ Đường tròn \[\left( O \right)\] có \[OA = OC = R\] nên tam giác \[OAC\] cân tại \[O.\]

Tam giác \[OAC\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường trung tuyến nên \[OH\] cũng là đường cao của tam giác, do đó \[OH \bot AC\] hay \[\widehat {OHA} = 90^\circ .\]

Vì \[AN\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[OA \bot AN\] hay \[\widehat {OAN} = 90^\circ .\]

Xét \[\Delta OHA\] và \[\Delta OAN,\] có:

\[\widehat {OHA} = \widehat {OAN} = 90^\circ ;\] \[\widehat {AON}\] là góc chung.

Do đó (g.g). Suy ra \[\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{ON}}.\]

Vì vậy \[OH \cdot ON = O{A^2} = {R^2}.\] Do đó khẳng định (i) là đúng.

⦁ Tam giác \[OAC\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường trung tuyến nên \[OH\] cũng là đường phân giác của tam giác, do đó \[\widehat {AOH} = \widehat {COH}.\]

Xét \[\Delta AON\] và \[\Delta CON,\] có:

\[OA = OC = R;\] \[\widehat {AON} = \widehat {CON};\] \[ON\] là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AON = \Delta CON\] (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {OAN} = \widehat {OCN}.\] Nên \[\widehat {OCN} = 90^\circ .\]

Vì vậy \[OC \bot CN\] tại \[C\] hay \[CN\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right).\] Do đó khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cho đường tròn  ( O )  đường kính  A D .  Vẽ tiếp tuyến  A C  tại  A  của đường tròn, từ  C  trên tiếp tuyến đó vẽ tiếp tuyến thứ hai  C M  của đường tròn  ( O )  ( M  là tiếp điểm và  M  khác  A ) cắt  A D  tại  B .  Giả sử  A C = 6 c m , A B = 8 c m .  Độ dài  B M  bằng (ảnh 1)

Vì \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[AC \bot AO\] tại \[A.\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] ta được:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100.\] Suy ra \[BC = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vì \[AC,\,\,CM\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được \[CM = CA = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Ta có \[BM = BC - CM = 10 - 6 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy ta chọn phương án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hai tiếp tuyến tại  A  và  B  của đường tròn  ( O )  cắt nhau tại  I .  Đường thẳng qua  I  vuông góc với  I A  cắt  O B  tại  K .  Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Vì đường tròn \[\left( O \right)\] có \[IA,IB\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[I\] nên \[\widehat {AOI} = \widehat {KOI}.\]

Lại có \[OA\,{\rm{//}}\,KI\] (vì cùng vuông góc với \[AI\]) nên \[\widehat {AOI} = \widehat {KIO}\] (cặp góc so le trong)

Do đó \[\widehat {KOI} = \widehat {KIO}.\]

Vì vậy tam giác \[KOI\] cân tại \[K.\]

Vậy ta chọn phương án A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \[OA \bot BC.\]

B. \[OA\] là đường trung trực của đoạn \[BC.\]

C. \[AB = AC.\]

D. \[OA \bot BC\] tại trung điểm của \[OA.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \[d\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right).\]

B. \[d\] cắt \[\left( O \right)\] tại hai điểm phân biệt.

C. \[d\] tiếp xúc với \[\left( O \right)\] tại \[O.\]

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP