Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).

__

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Đồ thị hàm số nhận \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và \(y = 2\) làm tiệm cận ngang nên tâm đối xứng của đồ thị là \(I\left( {1;2} \right)\).

d) Từ bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau (ở đây \({x_0} = - \frac{b}{a}\)).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(2 \ne m > 0\), do đó có 2023 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\).

Với \(m = 1\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên,

a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \(2021\).

d) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \({x_1} \le 0 < {x_2}\) hoặc \(0 < {x_1} < {x_2}\).

TH1: \({x_1} \le 0 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow m - 1 \le 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 1\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Bảng biến thiên

TH2: \(0 < {x_1} < {x_2}\)

Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\y\left( {m + 1} \right) \le y\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^3} - 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right) + 2025 \le 2025\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m \le 2\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\).

Vậy có tất cả 3 giá trị của \(m\).