Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 1;5} \right)\) và điểm \(B\left( {5; - 5;7} \right)\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Tọa độ của điểm \(A\) là \(\left( {2; - 1;5} \right)\).

b) \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + 5 + {x_C}}}{3}\\1 = \frac{{ - 1 - 5 + {y_C}}}{3}\\1 = \frac{{5 + 7 + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 4\\{y_C} = 9\\{z_C} = - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 4;9; - 9} \right)\).

Suy ra \(a + b + c = - 4\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;y + 1; - 4} \right)\).

Ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3k\\y + 1 = - 4k\\ - 4 = 2k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 7\\k = - 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(x + y = 3.\)

d) Ta có \(N \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow N\left( {x;y;0} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 2;y + 1; - 5} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;2} \right)\).

Ta có \(\Delta ABN\) vuông cân tại \(A\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN \bot AB\\AN = AB\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y + 1} \right) - 10 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 25 = 9 + 16 + 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{4}x - 5\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4} - 4} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{4}x - 5\\{x^2} - 4x + 4 + \frac{{9{x^2}}}{{16}} - 6x + 16 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{16}}{5}\\y = - \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow N\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{{13}}{5};0} \right)\).

Vậy \({x_N} + {y_N} = \frac{3}{5}\).