PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) của mực nước trong kênh tại thời điểm \(t\,\,\left( {\rm{h}} \right)\,\,\left( {0 \le t \le 24} \right)\) trong ngày được xác định bởi công thức \(h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5\). Gọi \(\left( {a\,;\,b} \right)\) là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần. Tính giá trị của \(a + b\).

___

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\), với \(2x + y = 240\) \(\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)\).

Suy ra \(y = 240 - 2x\)

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

\(S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120\).

\(S' = 240 - 4x\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)\).

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60\).

Vậy ông nông dân có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là \(7200\)m­².

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Phương trình \(f\left( x \right) = m\)có 3 nghiệm phân biệt \( - 2 < m < 2\), mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

c) \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có 2 điểm cực trị là \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\) .

Phương trình của hàm số là \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

d) \(y = f\left( {2\sin x + 1} \right)\) .

Đặt \(t = 2\sin x + 1 \Rightarrow y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\).

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 1 \le 2\sin x + 1 \le 3 \Rightarrow - 1 \le t \le 3\).

Do đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)\).

\[f'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t\] \[ \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left( { - 1;3} \right)\\t = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\end{array} \right.\].

\(f\left( 0 \right) = 2\); \(f\left( 2 \right) = - 2\);\(f\left( { - 1} \right) = - 2\);\(f\left( 3 \right) = 2\).

Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = 2\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2\) nên \(M + m = 0\).