Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi xoay miền \(\left( R \right)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục \(AB\). Miền \(\left( R \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB,AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,AD\). Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị cm3), làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

_____

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx = } \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {x + \ln x} \right)} \right|_2^6 = 6 + \ln 6 - \left( {2 + \ln 2} \right) = 4 + \ln 3\).

b) \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f\left( x \right) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx = } \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} \)\( = \left. {\ln x} \right|_2^6 = \ln 6 - \ln 2 = \ln 3\).

c) Ta có \(V = \pi {\int\limits_2^6 {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} ^2}dx\)\( = \pi {\int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} ^2}dx\)\( = \pi \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\)

\( = \left. {\pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)} \right|_2^6\)\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right)\)\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

d) \(V = \pi \int\limits_2^6 {\left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right)dx} \)\( = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} \)\( = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)

\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \left. {\pi x} \right|_2^6\)\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

Trả lời: 333

Ta có \(\left( P \right):v\left( t \right) = a{t^2} + bt\left( {a < 0} \right)\).

Vì sau 10 giây thì vật đó đạt đến vận tốc cao nhất nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 10\\100a + 10b = 50\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 10\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):v\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 10t\).

Do đó quãng đường vật đó đi được từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất là

\(s = \int\limits_0^{10} {\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 10t} \right)} dt = \frac{{1000}}{3} \approx 333\left( {\rm{m}} \right)\).