Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx}  = a\sqrt 3  + \frac{\pi }{b}\) \(\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(a + b\).

___

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\).

\(d\left( {A,Oxy} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 1\).

b) \(I\left( {1;1;2} \right)\) là trung điểm đoạn thẳng \(CD\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;4; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right) = - 2\left( {3;5;7} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\left( \alpha \right)//CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3;5;7} \right)\) có phương trình \(3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 7\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(3x + 5y + 7z - 20 = 0\).

Suy ra \(b = 5;c = 7;d = - 20\). Do đó \(2b - 3c + d = - 31\).

d) Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 3;0;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1;3;3} \right)\).

Nếu \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;3;3} \right)\) có phương trình là: \(\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(x + 3y + 3z - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 9y + 9z - 30 = 0\).

Suy ra \(b = 9;c = 9;d = - 30\). Do đó \(2b - 3c + d = - 39\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 - 2 = 10.\)