Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm $M\left(4;1;-2\right)$ và vectơ $\overrightarrow{u}=\left(4;-2;6\right).$Tìm toạ độ điểm N biết rằng $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{u}$.

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) Toạ độ điểm $F(4;0;3)$.

b) Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AH}=(4;5;3)$.

c) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AF}=3$.

d) Góc đốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là $\left(FGQP\right)$ và $\left(FGHE\right)$ bằng $26,6°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có 2 cây quạt treo tường. Cây quạt A treo chính giữa bức tường 8mvà cách trần 1m, cây quạt B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới ( đơn vị: mét). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\left(a;b;c\right)$. Tính $a+b+c$.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^{2017}{\left(x-1\right)}^{2018}\left(x+1\right)\forall x\in ℝ$. Khi đó hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

c) Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2ax+b$  có điểm cực trị $A(2;-2)$. Khi đó $a+b=2$.

d) Một doanh nghiệp mua một chiếc máy giá 5000 (USD) để sản xuất $x\left(\text{kg}\right)$ sản phẩm loại A. Trong thực tế, mỗi kg sản phẩm được sản xuất ra cần phải có nguyên liệu với giá 4 (USD). Khi doanh nghiệp này sản xuất một số lượng rất lớn sản phẩm thì chi phí để sản xuất được mỗi kg sản phẩm giảm dần và đạt giá trị nhỏ nhất là 4,1 (USD).

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC$ và ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ một góc bằng $60°$ (hình minh họa). Chiếc cần cẩu đang kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là $4,7\text{ kN}$ và trọng lượng của khung sắt là $3\text{ kN}$. Trọng lượng lớn nhất của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu kN?

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{3x-x^2}{2x-1}$ là đường thẳng $y=ax+b$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2-b$.