Vẽ đường tròn đường kính cắt đường thẳng tại và .

Cho vuông tại . Hạ , vẽ đường tròn tâm đường kính cắt tại và đường tròn tâm đường kính cắt tại

Chứng minh tam giác cân và xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất.

⦁ Chứng minh tam giác là tam giác cân 

Theo câu b, suy ra .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c), suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có: nên tam giác cân ở  , suy ra .

Mà suy ra nên .

Xét cân ở  (do ) có là đường cao nên  cũng là đường trung trực của . Suy ra nên cân ở .

⦁ Xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất

Chứng minh tương tự câu c, ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại  

Ta có: suy ra , do đó tứ giác là hình thang.

Lại có nên hình thang là hình thang vuông.

Ta có chu vi  là

(do

.

Lại có  và

Do đó , suy ra

Hay .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mà (chứng minh ở câu c) nên

Lại có là đường kính của đường tròn và điểm nằm trên đường tròn nên lúc này điểm trùng điểm tức là tại tâm . Như vậy, điều này xảy ra khi và chỉ khi nằm chính giữa cung .

Vậy chu vi đạt giá trị lớn nhất là khi nằm chính giữa cung .