Nếu hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khóa vòi thứ nhất, còn vòi thứ hai tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu vòi hai chảy một mình với công suất ban đầu thì sau bao lâu thì đầy bể?

Đáp án đúng là: C

Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 90, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 90 phút nên ta có phương trình: \(90.\frac{1}{x} + 90.\frac{1}{y} = 1\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\) (1).

Nếu mở riêng vòi I trong 15 phút và vòi II trong 20 phút thì chỉ được \(\frac{1}{5}\) nên ta có phương trình: \(\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{225}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{150}}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 225\\y = 150\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ I chảy một mình trong 225 phút = 3,75 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ II chảy một mình trong 150 phút = 2,5 giờ thì đầy bể.

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y là thời gian làm một mình để hoàn thành công việc của người thứ nhất và người thứ hai (0 < x, y, ngày).

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) (1).

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{x}{2}\) ngày.

Thời gian người thứ hai làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{y}{2}\) ngày.

Do đó, ta có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9\) hay x + y = 18 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\x + y = 18\end{array} \right.\).

Từ phương trình (1) có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{{xy}}{{x + y}} = 4\) hay 4(x + y) = xy hay xy = 72.

Thay x = 18 – y vào xy = 72 ta được (18 – y)y = 72 suy ra y² – 18y + 72 = 0.

Suy ra y = 12 hoặc y = 6 (thỏa mãn).

Với y = 12 thì x = 6 .

Với y = 6 thì x = 12 .

Do người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai nên y = 6 và x = 12 thỏa mãn.

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày, và người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì hoàn thành công việc.