Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\]

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có: A = \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c

A = \[\frac{{{{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2} - {a^2}bc - a{b^2}c - ab{c^2}}}{{abc}}\]

2A = \[\frac{{2{{\left( {bc} \right)}^2} + 2{{\left( {ca} \right)}^2} + 2{{\left( {ab} \right)}^2} - 2{a^2}bc - 2a{b^2}c - 2ab{c^2}}}{{abc}}\]

2A = \[\frac{{{{\left( {ab - bc} \right)}^2} + {{\left( {bc - ca} \right)}^2} + {{\left( {ca - ab} \right)}^2}}}{{abc}}\] ≥ 0 với a, b, c là các số thực dương.

Suy ra A ≥ 0 hay \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c ≥ 0.

Vậy \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\].