Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: [ frac{{bc}}{a} + frac{{ca}}{b} + frac{{ab}}{c} ge a + b + c ]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Xét hiệu, ta có: A = \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c
A = \[\frac{{{{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2} - {a^2}bc - a{b^2}c - ab{c^2}}}{{abc}}\]
2A = \[\frac{{2{{\left( {bc} \right)}^2} + 2{{\left( {ca} \right)}^2} + 2{{\left( {ab} \right)}^2} - 2{a^2}bc - 2a{b^2}c - 2ab{c^2}}}{{abc}}\]
2A = \[\frac{{{{\left( {ab - bc} \right)}^2} + {{\left( {bc - ca} \right)}^2} + {{\left( {ca - ab} \right)}^2}}}{{abc}}\] ≥ 0 với a, b, c là các số thực dương.
Suy ra A ≥ 0 hay \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c ≥ 0.
Vậy \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập