Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính của đường tròn.

Đáp án đúng là: D

Xét nửa đường tròn (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là tia phân giác của \(\widehat {MOA}\) do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM}\).

Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\) do đó \(\widehat {DOB} = \widehat {DOM}\).

Từ đó \(\widehat {AOC} + \widehat {BOD} = \widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{{\widehat {AOC} + \widehat {BOD} + \widehat {COM} + \widehat {MOD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Nên \(\widehat {COD} = 90^\circ \) hay tam giác COD vuông tại O và \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\).

Xét ∆CMO và ∆OMD có \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\) và \(\widehat {DMO} = \widehat {OMC} = 90^\circ \).

Do đó ∆CMO ∽ ∆OMD (g.g) suy ra \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MO}}{{MD}}\) hay MO² = MC.MD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDO ta có:

BD = \(\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = R\sqrt 3 \).

Mà MD = BD; MC = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = \(R\sqrt 3 \).

MÀ MO² = MC.MD (cmt) nên MC = \(\frac{{O{M^2}}}{{MD}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\) nên AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy BD = \(R\sqrt 3 \) và AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).