Cho hàm số bậc hai \(\left( P \right):y = 2{x^2} + x - 3\).

a) Điểm \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( P \right)\).

b) Đồ thị hàm số bậc hai \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh là \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng .

d) Có 5 giá trị nguyên dương \(m \in \left[ { - 3;10} \right)\) để đường thẳng  cắt đồ thị  tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay \(x = 0;y = 3\) vào phương trình của hàm số \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

b) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

Vậy tọa độ đỉnh của hàm số bậc hai là \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\):

\(2{x^2} + x - 3 = - \left( {m + 1} \right)x - m - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) (*).

Để phương trình \(\left( * \right)\)có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 12 > 0\\\frac{{m - 1}}{2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 1\).

Mà \(m \in \left[ { - 3;10} \right),m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài.