Chuyển động của vật thể\(M\) được thể hiện trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vật thể \(M\) khởi hành từ điểm \(A\left( {5;3} \right)\) và chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\). Hỏi khi vật thể \(M\)chuyển động được 5 giây thì vật thể \(M\) chuyển động được quãng đường dài bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

b) Đường kính của đường tròn bằng \(2d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

c) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\).

d) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} - 28y + \frac{{196}}{5} = 0\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{14}}{5}\\x = - \frac{7}{5}\end{array} \right.\).

Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay \(x = 0;y = 3\) vào phương trình của hàm số \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

b) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

Vậy tọa độ đỉnh của hàm số bậc hai là \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\):

\(2{x^2} + x - 3 = - \left( {m + 1} \right)x - m - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) (*).

Để phương trình \(\left( * \right)\)có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 12 > 0\\\frac{{m - 1}}{2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 1\).

Mà \(m \in \left[ { - 3;10} \right),m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài.