Ông Sơn trồng cây trên một mãnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…, ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Theo định lí ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Vì ba số thực a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

\[{\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\rm{c = 2b}} - {\rm{a}}\left( 1 \right)\]

Vì ba số thực b, c, d là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

\[{\rm{c = }}\frac{{{\rm{b + d}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{b + d = 2c}} \Leftrightarrow {\rm{d = 2c}} - {\rm{b = 2}}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right) - {\rm{b = 4b}} - {\rm{2a}} - {\rm{b = 3b}} - {\rm{2a}}\left( {\rm{2}} \right)\]

Tổng của bốn số thực a, b, c, d bằng 4 nên ta có:

\[{\rm{a + b + c + d = 4}} \Leftrightarrow {\rm{a + b + }}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right){\rm{ + }}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2a}}} \right){\rm{ = 4}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{6b}} - {\rm{2a = 4}} \Leftrightarrow {\rm{3b}} - {\rm{a = 2}} \Leftrightarrow {\rm{a = 3b}} - {\rm{2}}\]

Thế a = 3b – 2 vào (1) ta được: \[{\rm{c = 2b}} - \left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 2}} - {\rm{b}}\]

Thế a = 3b – 2 vào (2) ta được: \[{\rm{d = 3b}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 3b}} - {\rm{6b + 4 = 4}} - {\rm{3b}}\]

Tổng các bình phương của bốn số thực a, b, c, d bằng 24 nên ta có:

\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 24}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{2}} - {\rm{b}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{4}} - {\rm{3b}}} \right)^2}{\rm{ = }}24\]

\[ \Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2}{\rm{ = }}24\]

\[ \Leftrightarrow 20{b^2} - 40b\,{\rm{ = }}0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{b = 0}}}\\{{\rm{b = 2}}}\end{array}} \right.\]

Với b = 0 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.0}} - {\rm{2 = }} - {\rm{2; c = 2}} - {\rm{0 = 2; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.0 = 4}}\]

Vậy \[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]

Với b = 2 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.2}} - {\rm{2 = 4; c = 2}} - {\rm{2 = 0; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.2 = }} - {\rm{2}}\]

Vậy\[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]

Đáp án cần chọn là: D