Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{ - {x^2}\,\,khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây sai?

Dễ thấy \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}{{\rm{x}}^2} - 1\]khi \[{\rm{x}} \ge 0\] là hàm đa thức nên nó liên tục tại x = 2.

Ngoài ra \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{2}} \right)}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 4}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \left( {{\rm{x}} + 2} \right) = 4\]

Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = 2.

Xét các giới hạn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Do \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\] nên hàm số không liên tục tại x = 0.

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Đáp án cần chọn là: D