Câu hỏi:

31/01/2025 6,879

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1}\\{2x - 1\,\,khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.\). Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

A. a = −1, b = 0

B. a = −1, b = 1

C. a = 1, b = 0

D. a = 1, b = 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Đạo hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}}} \right){\rm{ = a + b = f}}\left( {\rm{1}} \right)\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \left( {{\rm{2x}} - 1} \right) = 1\]

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{a + b = 1}}\,\,\,\left( {\rm{1}} \right)\]

Khi đó ta có: \[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + b}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \left[ {{\rm{a}}\left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ + b}}} \right] = {\rm{2a + b}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{\rm{2x}} - {\rm{1}} - \left( {{\rm{a + b}}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 2\]

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì

\[{\rm{f'}}\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {\rm{2a + b}} = 2\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 1}\\{2a + b = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.

A. a = −2

B. a = 2

C. a = 1

D. \[{\rm{a}} = \frac{1}{2}\]

Lời giải

Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = {\rm{a}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ = a}} \Leftrightarrow 2 = {\rm{a}}\]

Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{2\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{\frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{x}} + 1 - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 1\]

Vậy a = 2.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{ - {x^2}\,\,khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không liên tục tại x = 0

B. Hàm số có đạo hàm tại x = 2

C. Hàm số liên tục tại x = 2

D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0

Lời giải

Dễ thấy \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}{{\rm{x}}^2} - 1\]khi \[{\rm{x}} \ge 0\] là hàm đa thức nên nó liên tục tại x = 2.

Ngoài ra \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{2}} \right)}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 4}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \left( {{\rm{x}} + 2} \right) = 4\]

Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = 2.

Xét các giới hạn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Do \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\] nên hàm số không liên tục tại x = 0.

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,x \ge 0}\\{ax + b\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.

</>

A. a = −11, b = 11

B. a = −10, b = 10

C. a = −12, b = 12

D. a = −1, b = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{\frac{1}{4}\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\]. Tính f′(0).

A.\[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{.}}\]

B. \[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{.}}\]

C. \[{\rm{f'}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{32}}}}{\rm{.}}\]

D. Không tồn tại

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = x}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{2}}} \right)...\left( {{\rm{x}} - {\rm{1000}}} \right)\]. Tính f′(0) ?

A. 10000!

B. 1000!

C. 1100!

D. 1110!

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \sqrt {4 - x} \,\,khi\,\,x \ne 0}\\{1\,\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Khi đó f′(0) là kết quả nào sau đây?

A. \[\frac{1}{4}\]

B. \[\frac{1}{{16}}\]

C. \[\frac{1}{2}\]

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1}\\{2x - 1\,\,khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.\). Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

Bình luận

Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{ - {x^2}\,\,khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây sai?

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,x \ge 0}\\{ax + b\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0. </>

Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{\frac{1}{4}\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\]. Tính f′(0).

Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = x}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{2}}} \right)...\left( {{\rm{x}} - {\rm{1000}}} \right)\]. Tính f′(0) ?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \sqrt {4 - x} \,\,khi\,\,x \ne 0}\\{1\,\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Khi đó f′(0) là kết quả nào sau đây?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,x \ge 0}\\{ax + b\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.

</>