Trong mặt phẳng gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\), hai tàu chuyển động đều, cùng xuất phát từ điểm \(O\). Sau 2 giờ, tàu một di chuyển đến vị trí điểm \(B\left( {15;20} \right)\), tàu hai di chuyển đến vị trí điểm \(C\left( {30; - 40} \right)\) (đơn vị trục tọa độ là km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời: −108

Điều kiện :\(n \ge 3;n \in N\)

\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 3)!}} + 2 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} = 48\)\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2.n(n - 1) = 48 \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\) (thỏa)

Ta có \({(1 - 3x)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3x)^k} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3)^k}{x^k}\).

Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển trên ứng với \(k = 3\).

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({(1 - 3x)^4}\) là \(C_4^3 \cdot {( - 3)^3} = - 108\).

Đáp án đúng là: A

Xét các số thoả mãn điều kiện có mặt chữ số 1 và 5.

Trường hợp 1: Số có dạng \(\overline {1abcde} \).

Số cách chọn vị trí cho chữ số 5 là 5.

Chọn 4 số trong 6 số còn lại và cho vào 4 vị trí còn lại có \(A_6^4\) cách.

Vậy có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.

Trường hợp 2: Số có dạng \(\overline {5abcde} \). Tương tự cũng có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.

Trường hợp 3: Số 1 và số 5 không ở vị trí đầu tiên.

Có \(A_5^2\) cách chọn vị trí cho số 1 và số 5.

Chữ số đầu tiên khác 0 và chọn trong \(\{ 2;3;4;6;7\} \) nên có 5 cách chọn.

Chọn 3 số trong 5 số cho 3 vị trí còn lại có \(A_5^3\) cách.

Do đó tạo được \(A_5^2 \cdot 5 \cdot A_5^3 = 6000\) số. Vậy có \(1800 + 1800 + 6000 = 9600\) số.