Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), cho điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x - 4y + 3 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và song song \(d\) có phương trình \(ax + by - 5 = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2}\).

Giả sử người đó đứng ở vị trí \(B\left( { - 3;4} \right)\).

Ta có \(IB = \sqrt {{{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R\).

Suy ra khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ \(B\left( { - 3;4} \right)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng là \(IB - R = \sqrt {10} - 3 \approx 0,16\) (km).

Xét \(\Delta AOC\) có \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7\).

Suy ra \(AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7} \).

Xét \(\Delta ABO\) có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \).

Vì \(AC = 2AB\) nên \(\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}} \)

Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:

\({x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{9}{5}\).

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) và \(x = - \frac{9}{5}\) đều là nghiệm của phương trình.

Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\) thỏa mãn \(OB < OA\).