Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí \(I\) có tọa độ \(\left( { - 2;1} \right)\) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là kilômét). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ \(\left( { - 3;4} \right)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 (km).

Trả lời: 5

Vì đường thẳng \(\Delta //d\) nên \(\Delta :2x - 4y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có \(2.1 - 4.\left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10\).

Do đó \(\Delta :2x - 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = - 2\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 5\).

Xét \(\Delta AOC\) có \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7\).

Suy ra \(AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7} \).

Xét \(\Delta ABO\) có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \).

Vì \(AC = 2AB\) nên \(\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}} \)

Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:

\({x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{9}{5}\).

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) và \(x = - \frac{9}{5}\) đều là nghiệm của phương trình.

Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\) thỏa mãn \(OB < OA\).