Câu hỏi:

19/08/2025 468 Lưu

Cho biểu thức: \(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \[D.\]

b) Rút gọn biểu thức \(D.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \[D\] biết \(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là: \[3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;\]\(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)

Xét \[3x \ne 0\] ta có \[x \ne 0.\]

Xét \[x + 1 \ne 0\] ta có \[x \ne --1.\]

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có \[2--4x \ne 0\]\[x + 1 \ne 0,\] hay \(x \ne \frac{1}{2}\)\[x \ne --1.\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \[D\]\(x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}.\)

b) Với \(x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}\) thì \(D = \frac{{x - 1}}{3}.\)

c) Ta có \(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(2x - 1 = 0\) hoặc \({x^2} + 1 = 0\) (vô nghiệm do \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x)\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Ta thấy \[x = \frac{1}{2}\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[D\] tại \[x = \frac{1}{2}\] là: \(D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(D = - \frac{1}{6}\) khi \(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pytagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\)

Suy ra \(BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.\)

\(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên suy ra:

\[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\]

b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\)\(\Delta EBC\) có:

Cho tam giác ABC  vuông tại  A có AB = 6cm và AC = 8cm  Đường phân giác của góc  ABC cắt cạnh AC  tại  D  (ảnh 1)

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC)\)

Do đó  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Từ \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)\(\left( 1 \right)\)

 (câu b) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)\(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

 (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\)

Suy ra \(CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)\)

 (g.g) nên \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

Suy ra \(ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\)\(\left( 4 \right)\) suy ra: \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)

Cho tam giác ABC  vuông tại  A có AB = 6cm và AC = 8cm  Đường phân giác của góc  ABC cắt cạnh AC  tại  D  (ảnh 2)

Lời giải

Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Một chiếc tàu thủy có mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của thân tàu được mô tả ở hình bên dưới. (ảnh 2)

• Do tam giác \[ABM\] vuông tại \(B,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = 5,{6^2} + 8,{4^2} = 31,36 + 70,56 = 101,92\].

Suy ra \(AB = \sqrt {101,92} \,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

• Do tam giác \(CDH\) vuông tại \(H,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[C{D^2} = C{H^2} + D{H^2} = 16,{2^2} + 10,{8^2} = 262,44 + 116,64 = 379,08\]

Suy ra \(CD = \sqrt {379,08} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Ta có \[AI = BH = BM + MC + CH = 8,4 + 24 + 16,2 = 48,6\] (m).

            \[DI = DH--HI = DH--AB = 10,8--5,6 = 5,2\] (m).

Do tam giác \[ADI\] vuông tại \[I,\] nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{D^2} = A{I^2} + D{I^2} = 48,{6^2} + 5,{2^2} = 2{\rm{ }}361,96 + 27,04 = 2{\rm{ }}389\]

Suy ra \(AD = \sqrt {2\,389} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Chu vi tứ giác \(AMCD\) là:

\[AM + MC + CD + DA = \]\(\sqrt {101,92} + 24 + \sqrt {379,08} + \sqrt {2389} \approx 102,4\) (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng \[102,4{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP