Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[AB = 6\,\,{\rm{cm}}\] và \[AC = 8\,\,{\rm{cm}}.\] Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\) Từ \(C\) kẻ \(CE \bot BD\) tại \(E.\)

a) Tính độ dài \(BC\) và tỉ số \(\frac{{AD}}{{DC}}.\)

b) Chứng minh  Từ đó suy ra \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Gọi \(EH\) là đường cao \(\Delta EBC.\) Chứng minh \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5\) (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút \( = 4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: \(4,8x\) (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút \( = 1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

\(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)

\(4,8x = 3x - 15 + 87\)

\(4,8x - 3x = 87 - 15\)

\(1,8x = 72\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40\) km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35\,\,\left( {{\rm{km/}}\,{\rm{h}}} \right).\)

Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Do tam giác \[ABM\] vuông tại \(B,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = 5,{6^2} + 8,{4^2} = 31,36 + 70,56 = 101,92\].

Suy ra \(AB = \sqrt {101,92} \,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

• Do tam giác \(CDH\) vuông tại \(H,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[C{D^2} = C{H^2} + D{H^2} = 16,{2^2} + 10,{8^2} = 262,44 + 116,64 = 379,08\]

Suy ra \(CD = \sqrt {379,08} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Ta có \[AI = BH = BM + MC + CH = 8,4 + 24 + 16,2 = 48,6\] (m).

            \[DI = DH--HI = DH--AB = 10,8--5,6 = 5,2\] (m).

Do tam giác \[ADI\] vuông tại \[I,\] nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{D^2} = A{I^2} + D{I^2} = 48,{6^2} + 5,{2^2} = 2{\rm{ }}361,96 + 27,04 = 2{\rm{ }}389\]

Suy ra \(AD = \sqrt {2\,389} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Chu vi tứ giác \(AMCD\) là:

\[AM + MC + CD + DA = \]\(\sqrt {101,92} + 24 + \sqrt {379,08} + \sqrt {2389} \approx 102,4\) (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng \[102,4{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]