Động đất hay địa chấn là sự rung chuyển trên bề mặt Trái Đất do kết quả của sự giải phóng năng lượng bất ngờ ở lớp vỏ Trái Đất và phái sinh ra sóng địa chấn (theo Wikipedia).

Ngày 6/2/2023, một trận động đất cường độ 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thổ Nhĩ Kì được mô tả bởi tâm \(I\) của đường tròn tác động \(\left( C \right)\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục tọa độ là km). Biết rằng đường tròn tác động \(\left( C \right)\) đi qua hai thành phố Kahramamaras và Nurdagi được mô tả bởi hai điểm \(K\left( { - 3;10} \right)\) và \(N\left( {8;0} \right)\); tâm chấn \(I\) có hoành độ dương và cách thành phố Aleppo của Syria được mô tả bởi điểm \(G\left( {9; - \frac{{17}}{4}} \right)\) là \(4\sqrt {10} \) km. Tìm bán kính (km) của đường tròn \(\left( C \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Giả sử đường tròn tác động \(\left( C \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;b} \right)\).

Vì \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(K\left( { - 3;10} \right)\) và \(N\left( {8;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right.\) (1).

Lại có \(IG = 4\sqrt {10} \) nên \({\left( {9 - a} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - b} \right)^2} = 160\) (2).

Từ \(\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c + 64}}{{16}}\\b = \frac{{11c}}{{160}} + \frac{{133}}{{20}}\end{array} \right.\) thay vào (2), ta được

\[{\left( {9 - \frac{{c + 64}}{{16}}} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - \frac{{11c}}{{160}} - \frac{{133}}{{20}}} \right)^2} = 160\]\( \Leftrightarrow {\left( {5 - \frac{c}{{16}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{109}}{{10}} + \frac{{11c}}{{160}}} \right)^2} = 160\)

\( \Leftrightarrow 25 - \frac{{10}}{{16}}c + \frac{{{c^2}}}{{256}} + \frac{{11881}}{{100}} + \frac{{1199}}{{800}}c + \frac{{121}}{{25600}}{c^2} = 160\)\( \Leftrightarrow \frac{{221}}{{25600}}{c^2} + \frac{{699}}{{800}}c - \frac{{1619}}{{100}} = 0\)

\( \Leftrightarrow c = 16\) hoặc \(c = \frac{{ - 25904}}{{221}}\).

Vì \(I\) có hoành độ dương nên \(c = 16\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = \frac{{31}}{4}\end{array} \right.\).

Do đó bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{{31}}{4}} \right)}^2} - 16} \approx 8,31\) km.