Tìm n \( \in \) N để các phân số tối giản:

a) \(\frac{{2{\rm{n  +  7}}}}{{5{\rm{n  +  2}}}}\)

b) \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}}\)

Lời giải:

a) Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2n  +  7}} \vdots {\rm{a}}\\{\rm{5n  +  2}} \vdots {\rm{a}}\end{array} \right.\) (1)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{10n  +  35}} \vdots {\rm{a}}\\{\rm{10n  +  4}} \vdots {\rm{a}}\end{array} \right.\]

Do đó \[({\rm{10n  +  35)}} - ({\rm{10n  +  4}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[31 \vdots {\rm{a}}\]

Suy ra \[{\rm{a}} = {\rm{\{ }} \pm 1; \pm 31\} \]

Từ (1) ta có \[(5{\rm{n  +  2)}} - (2{\rm{n  +  7}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[3{\rm{n}} - 5 \vdots {\rm{a}}\]

Tiếp tục lấy hiệu, ta được:

\[(3{\rm{n}} - 5{\rm{)}} - (2{\rm{n  +  7}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[{\rm{n}} - 12 \vdots {\rm{a}}\] suy ra \[{\rm{n}} - 12 \vdots 31\]

Do đó n – 12 = 31.k (k\[ \in \]N)

Nên n = 31k + 12

Vậy để \(\frac{{2{\rm{n  +  7}}}}{{5{\rm{n  +  2}}}}\)tối giản thì n\[ \ne \]31k + 12 với mọi n \[ \in \]ℕ, k \[ \in \]ℕ.

b) \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}} = \frac{{{\rm{3(6n  +  1) }}}}{{{\rm{7(3n  +  1)}}}}\)

Ta thấy 3; 7; 6n + 1; 3n + 1 đều là các số nguyên tố cùng nhau.

Để \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}}\) tối giản

\({\rm{6n  +  1}}\) không chia hết cho 7

Mà \({\rm{6n  +  1}}\)= 7n – (n – 1)

Nên n – 1 không chia hết cho 7

Suy ra \({\rm{n}} - {\rm{1}} \ne {\rm{7k}}\)

Do đó \({\rm{n}} \ne {\rm{7k}} + {\rm{1}}\)

Vậy để \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}}\)tối giản thì \({\rm{n}} \ne {\rm{7k}} + {\rm{1}}\)với mọi n \[ \in \]ℕ, k \[ \in \]ℕ.