Cho biểu thức E = \(2024! + \frac{{2024!}}{2} + \frac{{2024!}}{3} + ........ + \frac{{2024!}}{{2024}}\). Chứng minh E chia hết cho 2025.

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

• Từ 1 đến 2024 có 404 số chia hết cho 5 suy ra 2024! chia hết cho 5⁴⁰⁴

Nhận thấy n < 5⁵ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho \({5^{404 - 5}}\)= 5³⁰⁹ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 25 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Do đó E ⋮ 25. (1)

• Từ 1 đến 2024 có 674 số chia hết cho 3 suy ra 2024! chia hết cho 3⁶⁷⁴

Nhận thấy n < 3⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3^{674 – 7}= 3⁶⁶⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3⁴= 81 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra E ⋮ 81 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ƯCLN(25, 81) =1 nên E chia hết cho 25.81 = 2025.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

= \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} \)= 5a

Câu 3