Cho biểu thức E = \(2024! + \frac{{2024!}}{2} + \frac{{2024!}}{3} + ........ + \frac{{2024!}}{{2024}}\). Chứng minh E chia hết cho 2025.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

• Từ 1 đến 2024 có 404 số chia hết cho 5 suy ra 2024! chia hết cho 5⁴⁰⁴

Nhận thấy n < 5⁵ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho \({5^{404 - 5}}\)= 5³⁰⁹ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 25 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Do đó E ⋮ 25. (1)

• Từ 1 đến 2024 có 674 số chia hết cho 3 suy ra 2024! chia hết cho 3⁶⁷⁴

Nhận thấy n < 3⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3^{674 – 7}= 3⁶⁶⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3⁴= 81 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra E ⋮ 81 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ƯCLN(25, 81) =1 nên E chia hết cho 25.81 = 2025.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Lời giải:

Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

= \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} \)= 5a

Câu 2

Lời giải

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Câu 3