Cho phương trình x² – 2x + k² – 3k – 9 = 0 với k là tham số. Khi đó phương trình đã cho có Q = \(\sqrt {{x_1}^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10} + \sqrt {{x_1}^2 - 2{x_2} + 1} \).

Lời giải:

Ta có ∆’ = 1 – (k² – 3k – 9) ≥ 0

k² – 3k – 10 ≤ 0

(k – 5)(k +2) ≤ 0 (−2 ≤  k ≤ 5).

Theo định lý Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = {k^2} - 3k - 9\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_2} = 2 - {x_1}\)

Thay vào Q ta có: \(\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {x_2} - (2 - {x_2}) + k + 10} + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \)

=\(\sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 1 + k + 11} + \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \)≥\(\sqrt {11 - 2} = 3\)

Vậy Q_min = 3 khi k = −2 và x₁ = x₂ = 1

Ta xét \({x_1}^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10 = {x_1}^2 - 2{x_1} + ({x_2} + {x_1}) + k + 10\)

x₁ là nghiệm của phương trình suy ra \({x_1}^2 - 2{x_1} = \) 9 + 3k −k²

Thế vào trên ta có: 9 + 3k −k² + 2 + k + 10 = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \)−k² + 4k + 21

Xét x₂² − x₂ + 1 tương tự x₂ là nghiệm của phương trình

x₂² − x₂ + 1 = 10 + 3k −k²

Suy ra Q = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \) + \(\sqrt {10{\rm{ }} + {\rm{ }}3k - {k^2}} \)

=\(\sqrt {\left( {5 - k} \right)\left( {k + 2} \right)} + \sqrt {\left( {7 - k} \right)\left( {k + 3} \right)} \le \sqrt {(5 - k + k + 3)(k + 2 + 7 - k)} \)

Suy ra Q ≤ \(6\sqrt 2 \)

Vậy Q_max =\(6\sqrt 2 \) khi k =\(\frac{{29}}{{17}}\).