Cho phương trình x² – 2x + k² – 3k – 9 = 0 với k là tham số. Khi đó phương trình đã cho có Q = \(\sqrt {{x_1}^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10} + \sqrt {{x_1}^2 - 2{x_2} + 1} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có ∆’ = 1 – (k² – 3k – 9) ≥ 0

k² – 3k – 10 ≤ 0

(k – 5)(k +2) ≤ 0 (−2 ≤ k ≤ 5).

Theo định lý Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = {k^2} - 3k - 9\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_2} = 2 - {x_1}\)

Thay vào Q ta có: \(\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {x_2} - (2 - {x_2}) + k + 10} + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \)

=\(\sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 1 + k + 11} + \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \)≥\(\sqrt {11 - 2} = 3\)

Vậy Q_min = 3 khi k = −2 và x₁ = x₂ = 1

Ta xét \({x_1}^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10 = {x_1}^2 - 2{x_1} + ({x_2} + {x_1}) + k + 10\)

x₁là nghiệm của phương trình suy ra \({x_1}^2 - 2{x_1} = \) 9 + 3k −k²

Thế vào trên ta có: 9 + 3k −k² + 2 + k + 10 = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \)−k² + 4k + 21

Xét x₂² − x₂ + 1 tương tự x₂ là nghiệm của phương trình

x₂² − x₂ + 1 = 10 + 3k −k²

Suy ra Q = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \) + \(\sqrt {10{\rm{ }} + {\rm{ }}3k - {k^2}} \)

=\(\sqrt {\left( {5 - k} \right)\left( {k + 2} \right)} + \sqrt {\left( {7 - k} \right)\left( {k + 3} \right)} \le \sqrt {(5 - k + k + 3)(k + 2 + 7 - k)} \)

Suy ra Q ≤ \(6\sqrt 2 \)

Vậy Q_max =\(6\sqrt 2 \) khi k =\(\frac{{29}}{{17}}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bảng số nguyên tố từ 1 đến 100

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính độ dài vectơ BC.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

= \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} \)= 5a

Câu 3