Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\),\(\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\).Tính tích vô hướng\(\overrightarrow {a.} \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) và suy ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \).

Lời giải.

Dựng tam giác ABC có AB = 5, BC = 12 và AC = 13.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\),\(\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\)

Và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)

Khi đó: \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)

Mặt khác, ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{C^{^2}} + A{B^2} - B{C^2}} \right)\)

=\(\frac{1}{2}.({13^2} + {5^2} - {12^2}) = 25\)

Ta suy ra: \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\]= \(\frac{{25}}{{3.15}} \approx 0,3846\),..

Do đó \[\left( {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 67^\circ 23'\].