Câu hỏi:

10/05/2025 23

Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kỳ thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

· Chứng minh a, b, c là số nguyên

+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)

Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:

P(0) = c là số chính phương

P(1) = a + b + c là số chính phương

+ Xét tính chính phương của P(2)

P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.

Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.

Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên

· Chứng minh b là số chẵn

Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x² ≡ 0 hoặc 1(mod4)
Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k ∈ Z

Từ phương trình:

P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Ta trừ hai phương trình này:

(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)

Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:

b ≡ 0 (mod 2)

Nghĩa là b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai thùng đựng tất cả 280 lít dầu. Nếu rót từ thùng 1 sang thùng 2 25 lít dầu thì thùng 2 hơn thùng 1 16 lít. vậy lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít

Số lít dầu thùng 2 lúc này:

(280 + 16) : 2 = 148 (lít)

Số lít dầu thùng 2 ban đầu:

148 – 25 = 123 (lít)

Số lít dầu thùng 1 ban đầu:

280 – 123 = 157 (lít)

Câu 2

Cho các chữ số:1,2,3,4,5. Hỏi từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Vì đề bài yêu cầu lập số chẵn lên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn

+ Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn 1,3,5 hoặc chữ số chẵn còn lại)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là chọn 1 trong những số còn lại)

Vậy có tất cả: 2 . 4 . 3 = 24 (số)

Câu 3