Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kỳ thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Lời giải:

·      Chứng minh a, b, c là số nguyên

+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)

Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:

P(0) = c là số chính phương

P(1) = a + b + c là số chính phương

+ Xét tính chính phương của P(2)

P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.

Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.

Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên

·      Chứng minh b là số chẵn

• Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x² ≡ 0 hoặc 1(mod4)
• Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k ∈ Z

Từ phương trình:

P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Ta trừ hai phương trình này:

(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)

Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:

b ≡ 0 (mod 2)

Nghĩa là b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.