Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.

Lời giải: Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5 ⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12 ⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11 ⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5 + Với p ≡ ±1 (mod5) ⇒ p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) + Với p ≡ ±2 (mod5) ⇒p4 ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5) (p4)504 = p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒p2016 – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1) + Với p ≡ ±1 (mod12) ⇒p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) + Với p chia 12 dư ±3 ⇒p ⋮ 3. Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L) + Với p ≡ ±5 (mod12) ⇒p2 ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12) ⇒(p2)1008 = p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2) Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Câu hỏi:

10/05/2025 35

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p²⁰¹⁶ – 1 chia hết cho 60.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5

⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12

⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11

⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5

+ Với p ≡ ±1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

+ Với p ≡ ±2 (mod5)

⇒p⁴≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)

(p⁴)⁵⁰⁴= p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)

+ Với p ≡ ±1 (mod12)

⇒p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

+ Với p chia 12 dư ±3

⇒p ⋮ 3.

Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)

+ Với p ≡ ±5 (mod12)

⇒p² ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)

⇒(p²)¹⁰⁰⁸ = p²⁰¹⁶≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)

Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai thùng đựng tất cả 280 lít dầu. Nếu rót từ thùng 1 sang thùng 2 25 lít dầu thì thùng 2 hơn thùng 1 16 lít. vậy lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít

Số lít dầu thùng 2 lúc này:

(280 + 16) : 2 = 148 (lít)

Số lít dầu thùng 2 ban đầu:

148 – 25 = 123 (lít)

Số lít dầu thùng 1 ban đầu:

280 – 123 = 157 (lít)

Câu 2

Cho các chữ số:1,2,3,4,5. Hỏi từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Vì đề bài yêu cầu lập số chẵn lên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn

+ Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn 1,3,5 hoặc chữ số chẵn còn lại)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là chọn 1 trong những số còn lại)

Vậy có tất cả: 2 . 4 . 3 = 24 (số)

Câu 3