Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.

Lời giải: Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5 ⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12 ⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11 ⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5 + Với p ≡ ±1 (mod5) ⇒ p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) + Với p ≡ ±2 (mod5) ⇒p4 ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5) (p4)504 = p2016 ≡ 1 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5) ⇒p2016 – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1) + Với p ≡ ±1 (mod12) ⇒p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) + Với p chia 12 dư ±3 ⇒p ⋮ 3. Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L) + Với p ≡ ±5 (mod12) ⇒p2 ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12) ⇒(p2)1008 = p2016 ≡ 1 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12) ⇒ p2016 – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2) Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Câu hỏi:

19/08/2025 556

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p²⁰¹⁶ – 1 chia hết cho 60.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5

⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12

⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11

⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5

+ Với p ≡ ±1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

+ Với p ≡ ±2 (mod5)

⇒p⁴≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)

(p⁴)⁵⁰⁴= p²⁰¹⁶≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶– 1 ≡ 0 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)

+ Với p ≡ ±1 (mod12)

⇒p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

+ Với p chia 12 dư ±3

⇒p ⋮ 3.

Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)

+ Với p ≡ ±5 (mod12)

⇒p² ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)

⇒(p²)¹⁰⁰⁸ = p²⁰¹⁶≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)

Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm tập giá trị của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y

⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y

⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)

Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)² + (2y – 1)² ≥ 16y²

⇔ 16y² – 8y + 5 ≤ 0

⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)

Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)

Câu 2

So sánh 5³⁰⁰ và 3⁴⁵³

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

5³⁰⁰= (5²)¹⁵⁰= 25¹⁵⁰< 27¹⁵⁰= (3³)¹⁵⁰= 3⁴⁵⁰< 3⁴⁵³

Vậy 5³⁰⁰ < 3⁴⁵³

Câu 3