Cho hình vuông ABCD, và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh lần lượt thuộc 4 cạnh của hình vuông ABCD.

a) Chứng minh rằng: S_ABCD ≤ \(\frac{{AC}}{4}\)(MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí điểm M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Xác định vị trí điểm M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. (ảnh 1)

a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ

Khi đó: \(BJ = \frac{{MN}}{2}\)

Tương tự: \(DK = \frac{{PQ}}{2};IJ = \frac{{QM}}{2};IK = \frac{{PN}}{2}\)

Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD

Do đó:

S_ABCD = \(\frac{{AC}}{2}.BD \le \frac{{AC}}{2}\left( {BJ + JI + IK + KD} \right) = \frac{{AC}}{4}\left( {MN + NP + PQ + QM} \right)\)

b) Chu vi tứ giác MNPQ là: MN + NP + PQ + QM

= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)

Dấu “=” xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ // NP, MN // PQ, MN = PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau)

Khi đó MNPQ là hình chữ nhật.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y

⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y

⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)

Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)² + (2y – 1)² ≥ 16y²

⇔ 16y² – 8y + 5 ≤ 0

⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)

Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

5³⁰⁰= (5²)¹⁵⁰= 25¹⁵⁰< 27¹⁵⁰= (3³)¹⁵⁰= 3⁴⁵⁰< 3⁴⁵³

Vậy 5³⁰⁰ < 3⁴⁵³

Câu 3