Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng a. Gọi E là trung điểm AB, F là điểm thuộc BC sao cho BF = 2FC, G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG = 2GD. Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng (EFG) với mặt phẳng (ACD) theo a?

Lời giải:

Trong mp(BCD) gọi I = FG ∩ BD

Trong mp (ADB) gọi H = IE ∩ AD

Khi đó HG = (EFG) ∩ (ACD)

Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I, G, F thẳng hàng ta có:

\(\frac{{ID}}{{IB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{GC}}{{GD}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IB}} = \frac{1}{4}\)

Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I, H, E thẳng hàng ta có:

\(\frac{{HD}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{ID}} = 1 \Rightarrow \frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HD = \frac{a}{5}\)

Xét tam giác HDG:

\(H{G^2} = H{D^2} + D{G^2} - 2.DH.DG.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{{15}} = \frac{{19{a^2}}}{{225}}\)

Suy ra: \(HG = \frac{{\sqrt {19} }}{{15}}a\)