Tìm GTNN, GTLN của \(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}}\)

Lời giải:

\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1\)

Vì \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x \Rightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1 \ge - 1\)

Vậy GTNN của D là -1 khi x = -2

\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - 4{x^2} + 4x - 1 + 4{x^2} + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4\)

Vì \( - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0,\forall x \Rightarrow - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4 \le 4\)

Vậy GTLN của D là 4 khi x = \(\frac{1}{2}\)