Cho phương trình \[\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = 0\] có hai nghiệm. Phân tích đa thức \(\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2\) thành nhân tử ta được

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – 4x – 12 = 0 viết thành –x² + 4x + 12 = 0, phương trình này có a = –1, b = 4, c = 12.

Ta có \( - \frac{b}{a} = 4 = - 2 + 6\) và \(\frac{c}{a} = - 12 = \left( { - 2} \right) \cdot 6.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = –2; x₂ = 6.

Khi đó, ta có:

–x² + 4x + 12 = –(x + 2)(x – 6) = (x + 2)(6 – x).

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình –x² + 3mx – 2m² – 3m + 9 = 0 có:

∆ = (3m)² – 4.(–1).(– 2m² – 3m + 9 ) = 9m² – 8m² – 12m + 36

= m² – 12m + 36 = (m – 6)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình –x² + 3mx – 2m² – 3m + 9 = 0 luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 3m - 9 = \left( {2m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\end{array} \right..\)

Ta thấy rằng có hai số 2m – 3 và m + 3 thỏa mãn 2m – 3 + m + 3 = 3m và (2m – 3).(m + 3) = 2m² + 3m – 9.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 2m – 3, x₂ = m + 3.

Khi đó, ta có:

–x² + 3mx – 2m² – 3m + 9

= –[x – (2m – 3)].[x – (m + 3)]

= –(x – 2m + 3)(x – m – 3)

= (2m – 3 – x)(x – m – 3)

= (x – 2m + 3)(m + 3 – x).

Vậy ta chọn phương án B.