Cho hình thang ABCD, lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho AM = 2 × MC.

Lấy điểm N trên cạnh CD sao cho BDNM là hình thang.

a) So sánh diện tích hai tam giác BDN và BDM.

b) Tính tỉ số $\frac{S_{ABND}}{S_{BNC}}$ 

a) Vì BDNM là hình thang nên SBDN = SBMD (hai tam giác có chung đáy BD, chiều cao hạ từ N xuống BD bằng chiều cao hạ từ M xuống BD cùng bằng chiều cao hình thang BDNM ).

b) Vì AM = 2 × MC nên S_ABM = 2 × S_BMC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ B xuống AC).

Vì AM = 2 × MC nên S_ANM = 2 x S_MNC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N xuống AC).

Suy ra S_ABMN = S_ABM  + S_ANM = 2 × S_BMC + 2 × S_MNC = 2 × (S_BMC + S_MNC)

Mà S_ABMN = S_NAB + S_NMB và S_NAB = S_DAB nên S_DAB + S_NMB = 2 × (S_BMC + S_MBC)

⇒ S_DAB = 3 × S_NMB = 2 × (S_BMC +S_MNC + S_NMB) = 2 × S_BNC (1)

Lại có S_ADC = 3 × S_MDC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ D xuống AC và AM = 2 × MC)

Mà hai tam giác này có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.

Mặt khác, chiều cao hạ từ A xuống CD bằng chiều cao hạ từ B xuống CD

⇒ Chiều cao hạ từ B xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.

Do đó S_BDN = 3 × S_MDN

Vì BDNM là hình thang nên S_MDN = S_NMB

⇒ S_BDN = 3 × S_NMB

Thay vào (1) ta được S_DAB + S_BDN = 2 × S_BNC

⇒ S_ABND = 2 × S_BNC ⇒ $\frac{S_{ABND}}{S_{BNC}}$ = 2