Cho 16 số tự nhiên phân biệt khác 0 thỏa mãn tích của năm số bất kì trong 16 số này là số chẵn. Gọi S là tổng của 16 số này. Biết rằng S là số lẻ, hỏi S có thể nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A đang có tổng các chữ số là (2 + 0 + 6 + 9) x 250 = 4250

Tổng các chữ số cần xóa đi: 4250 – 2021 = 2229.

Trước tiên ta xóa hết 250 chữ số 0. Tiếp theo, nhận thấy 2229 chia hết cho 3, các chữ số 6 và 9 cũng chia hết cho 3 nên số lượng chữ số 2 xóa đi cũng phải chia hết cho 3. Có 250 chữ số 2, vậy ta xóa đi 249 chữ số 2. Lúc này tổng các chữ số 6 và 9 cần xóa là:

2229 – 249 x 2 = 1731. Nhận thấy số lượng chữ số 6 cần xóa phải nhiều nhất có thể, có 250 chữ số 6 nên ta thử:

+) Nếu xóa hết 250 chữ số 6 thì tổng các chữ số 9 cần xóa là 1731 – 250 x 6 = 231 không chia hết cho 9.

+) Nếu xóa 249 chữ số 6 thì tổng các chữ số 9 cần xóa là 1731 – 249 x 6 = 237 không chia hết cho 9.

+) Nếu xóa 248 chữ số 6 thì tổng các chữ số 9 cần xóa là 1731 – 248 x 6 = 243 chia hết cho 9) cần xóa 243 : 9 = 27 chữ số 9.

Vậy cần xóa nhiều nhất 250 chữ số 0; 249 chữ số 2; 248 chữ số 6 và 27 chữ số 9, tức là 250 + 249 + 248 + 27 = 774 chữ số.

Lúc này còn lại 226 chữ số gồm 1 chữ số 2; 2 chữ số 6 và 223 chữ số 9. Số lớn nhất có thể thu được là 9999… 9999662.

Các số tiến từ 2021 đến 2401 gồm có 2345 đến 2349 (5 số), 2356 đến 2359 (4 số), 2367, 2368, 2369, 2378, 2379, 2389)

Vậy có 15 số tiến từ 2021 đến 2401.