Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = 4{x^2} - x + 1\). Khi đó:

a) Ta có \(f(1) = 2\).

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

c) Hàm số \(g\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).

Mà f(1) = n là số hữu hạn, suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) hữu hạn nên x = 1 là nghiệm của x³ + 8x + m = 0

Þ m = −9.

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + 8x - 9}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 9} \right)}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 9} \right) = 11\).

Suy ra n = 11. Vậy m + n = −9 + 11 = 2.

Trả lời: 2.

a) Hàm số f(x) xác định trên ℝ.

b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 90\).

c) Ta có f(20) = 65.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \left( {x + 45} \right) = 65 = f\left( {20} \right)\) nên f(x) liên tục tại x = 20.

d) Với x ≠ 45 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}}\) hàm số xác định trên khoảng (−∞; 45) và (45; +∞).

Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 45) và (45; +∞).

Do đó hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 45 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = f\left( {45} \right)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = 2m + 4\)Û 90 = 2m + 4 Û m = 43.

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.