Câu hỏi:
31/05/2025 217
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(8\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(8\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Quảng cáo
Trả lời:
Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Vì DABC đều Þ AM ^ BC và AA' ^ BC Þ BC ^ (AA'M) Þ BC ^ A'M.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'MA} = 30^\circ \].
Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].
\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\)
Suy ra \(A'A = AM.\tan 30^\circ = \frac{{4.\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \approx 13,9\).
Trả lời: 13,9.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Theo giả thiết, DSAB vuông tại A có \(SB = a\sqrt 3 ;\widehat {ASB} = 30^\circ \).
Khi đó \(SA = SB.\cos 30^\circ = \frac{{3a}}{2}\) và \(AB = SB.\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC).
b) Vì (SAB) ^ (ABC) và (SAB) ^ (SBC) nên (SBC) ^ (ABC) .
Suy ra BC ^ (SAB) Þ (SC, (SAB)) = (SC, SB) = \(\widehat {CSB} = 45^\circ \).
Suy ra DSBC vuông cân tại B Þ BC = SB = \(a\sqrt 3 \).
c) BC ^ (SAB) Þ CB ^ AB Þ DABC vuông tại B.
d) Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3{a^2}}}{4}\) và \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).
Vậy tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải
Ta có diện tích đáy \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi H là trung điểm AB Þ SH ^ AB.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do DABC đều nên AB ^ CH và AB ^ SH nên AB ^ (SHC) mà CD // AB
Þ CD ^ (SHC) Þ CD ^ SC.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SC \bot CD,SC \subset \left( {SCD} \right)\\HC \bot CD,HC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc \(\widehat {SCH}\)\( \Rightarrow \widehat {SCH} = 45^\circ \)
Suy ra DSHC vuông cân tại H \( \Rightarrow SH = CH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{27}}{4} \approx 6,75\).
Trả lời: 6,75.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.