Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a. Gọi I là trung điểm của AC và kẻ IH ^ SC.

a) Đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng (BHI).

b) Độ dài đoạn thẳng BH bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

c) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng IH và BH bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

d) Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.

a) Ta có (SAC) Ç (SBC) = SC.

Do SA ^ (ABC) Þ (SAC) ^ (ABC).

Kẻ BI ^ AC Þ BI ^ (SAC) Þ BI ^ SC (1).

Kẻ IH ^ SC (2).

Từ (1) và (2), ta có SC ^ (BIH).

b) Vì SA ^ (ABC) nên BC ^ SA mà BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Xét tam giác SBC có \(\widehat {CBS} = 90^\circ \).

Ta có BC = a; SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \).

Có \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{S^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

c) Xét tam giác BHI có BI ^ HI (do BI ^ (SAC)); \(BI = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};BH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

\( \Rightarrow \sin \widehat {BHI} = \frac{{BI}}{{BH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {BHI} = 60^\circ \).

d) Có (SAC) Ç (SBC) = SC, IH ^ SC, BH ^ SC

Suy ra ((SAC), (SBC)) = (IH, BH) = \(\widehat {BHI} = 60^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.