Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC = a, các cạnh bên \(SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó:

a) Đường thẳng SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

b) Thể tích khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{2}\).

c) Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] lớn hơn 65°.

d) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng \(\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

a) Vì H là trung điểm của BC \( \Rightarrow HA = HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a\sqrt 2 \).

Mà SA = SB = SC = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) nên SH ^ BC.

Suy ra SH ^ (ABC).

Vậy SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

b) Có \(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\).

Suy ra \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{3}a.\left( {\frac{1}{2}a.a} \right) = \frac{{{a^3}}}{6}\).

c) Ta có số đo [S, AB, C] bằng số đo [S, AB, H].

Kẻ AI ^ AB mà AB ^ SH (vì SH ^ (ABC)) Þ AB ^ (SHI) Þ AB ^ SI.

Do đó \(\widehat {SIH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, AB, H].

Ta có \(HI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\) (do tam giác ABH vuông cân tại H).

Trong tam giác vuông SIH, ta có \(\tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{IH}} = \frac{a}{{\frac{1}{2}a}} = 2 \Rightarrow \widehat {SIH} \approx 63^\circ 26'\).

d)

Ta có H là trung điểm của BC nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)).

Kẻ HK ^ SI thì HK ^ (SAB) suy ra d(H, (SAB)) = HK.

Trong tam giác vuông SIH, ta có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Suy ra \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HK = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.