Lan viết các số La Mã như sau \({\rm{XIII;}}\,\,{\rm{XIX;}}\,\,{\rm{VXI;}}\,\,{\rm{XXIV}}{\rm{.}}\) Lan viết sai số La Mã nào?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(A = {1000^0} + {1000^{1001}} + {1000^{1002}} + {1000^{1003}} + {1000^{1004}}\)

 \( = 1 + \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1002}}} \right) + \left( {{{1000}^{1003}} + {{1000}^{1004}}} \right)\)

 \( = 1 + {1000^{1001}} \cdot \left( {1 + 1000} \right) + {1000^{1003}} \cdot \left( {1 + 1000} \right)\)

 \( = 1 + {1000^{1001}} \cdot 1001 + {1000^{1003}} \cdot 1001\)

 \[ = 1 + 1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right).\]

Ta thấy rằng \[1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right)\,\, \vdots \,\,1001\] nên \[1 + 1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right)\] chia 1001 dư 1.

Vậy \(A:1001\) có số dư bằng 1.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 3.

Ta thấy rằng số \(m\) có dạng \(\overline {21ab} \) với \(a,\,\,b \in \mathbb{N};\,\,0 \le a,\,\,b \le 9;\,\,26 \le \overline {ab} \le 53.\)

Tổng các chữ số của \(m\) là: \(2 + 1 + a + b = a + b + 3.\)

Để số \(m\) chia hết cho 9 thì \(\left( {a + b + 3} \right)\,\, \vdots \,\,9.\)

Suy ra, \(a + b \in \left\{ {6;\,\,15} \right\}.\)

Vậy có 3 số tự nhiên \(m\) cần tìm là: \(2133;\,\,2142;\,\,2151.\)