Một đoạn mật mã gồm 4 chữ số, biết tổng và hiệu của hai số được lập từ hai chữ số đầu và hai chữ số cuối đều chia hết cho 14. Hỏi phải thử ít nhất bao nhiêu lần để chắc chắn mở được đoạn mật mã này? (chẳng hạn 1428 thì 14 + 28 và 28 – 14 đều chia hết cho 14).

Vì 7, 33 và 65 đều lẻ nên bước đầu tiên ta chỉ có thao tác 1 là dồn hai đống tùy ý thành một đống.

- Trường hợp 1: Dồn 2 đống 7 ; 33 dồn thành đống 40, khi đó ta được hai đống 40 ; 65

Nhận xét rằng số sỏi chia hết cho 5 nên các thao tác sau dù chia đôi hay gộp lại cũng sẽ tạo ra kết quả là số sỏi chia hết cho 5 nên không thể xảy ra trường hợp mỗi đống 1 viên.

- Trường hợp 2: Dồn 2 đống 7 ; 65 dồn thành đống 72, khi đó ta được hai đống 33 ; 72

Nhận xét rằng số sỏi chia hết cho 3 nên các thao tác sau dù chia đôi hay gộp lãi cũng sẽ tạo ra kết quả là số sỏi chia hết cho 3 nên không thể xảy ra trường hợp mỗi đống 1 viên.

- Trường hợp 3: Dồn 2 đống 33 ; 65 dồn thành đống 98, khi đó ta được hai đống 7 ; 98

Nhận xét rằng số sỏi chia hết cho 7 nên các thao tác sau dù chia đôi hay gộp lãi cũng sẽ tạo ra kết quả là số sỏi chia hết cho 7 nên không thể xảy ra trường hợp mỗi đống 1 viên.

Vậy không thể nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một viên sỏi.

Diện tích nửa hình tròn đường kính BC là:

    [(10 : 2) x (10 : 2) x 3,14] : 2 = 39,25 (${\text{cm}}^{\text{2}}$)

Diện tích nửa hình tròn đường kính AB là:

    [(6 : 2) x (6 : 2) x 3,14] : 2 = 14,13 (${\text{cm}}^{\text{2}}$)

Diện tích nửa hình tròn đường kính AC là:

     [(8 : 2) x (8 : 2) x 3,14] : 2 = 25,12 (${\text{cm}}^{\text{2}}$)

Diện tích tam giác ABC là:

       6 x 8 : 2 = 24 (${\text{cm}}^{\text{2}}$)

Diện tích phần tô đậm là:

       24 + 25,12 + 14,13 – 39,25 = 24 (${\text{cm}}^{\text{2}}$)

Đáp số: 24 ${\text{cm}}^{\text{2}}$