Cho dãy số (u_n) xác định bởi công thức \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}\]. Dãy số (u_n) là:     

Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}}{\rm{ =  }}\frac{{\left( {{\rm{n  +  1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n  +  1}}} \right){\rm{  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{n  +  1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n  +  2  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n  +  3}}}}\]

Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ =  }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n  +  3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ =  }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n  +  3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  2n}} - {\rm{3n  +  3}}}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}{\rm{ >  0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ >  0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1 }}}}{\rm{ >  }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.