20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Dãy số (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

\[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ =  3}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ =  3}} - {\rm{1  =  2}}\].

Với dãy số (un) ta có:

Xét đáp án A. Nếu (un) là dãy số tăng thì ta có \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ge {{\rm{u}}_{\rm{1}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]. Vậy dãy số bị chặn dưới.

Vậy A đúng.

Xét đáp án B. Xét dãy số (un)  có \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ =  }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{n}}}\].

Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ =  1; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ =  }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}\]

Do đó dãy số không tăng không giảm.

Vậy B đúng.

Xét đáp án C. Nếu (un)  là dãy số giảm thì ta có \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {{\rm{u}}_{\rm{1}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] Vậy dãy số bị chặn trên.

Vậy C đúng.

Xét đáp án D. Xét dãy số (un) có \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n  +  1}}}}\] là dãy số tăng, bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0.

Nếu tồn tại số M > 0 sao cho

\[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {\rm{M, }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow  - {\rm{M}} \le {{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {\rm{M}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy (un) là dãy số bị chặn.

\[{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{10  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{11}}}}\].

\[{u_1} = 1;{\rm{ }}{u_2} = 10{u_1} - 9.1 = 10.1 - 9.1 = 1;{u_3} = 10{u_2} - 9.2 = 10.1 - 9.2 =  - 8\].

Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}}{\rm{ =  }}\frac{{\left( {{\rm{n  +  1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n  +  1}}} \right){\rm{  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{n  +  1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n  +  2  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n  +  3}}}}\]

Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ =  }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n  +  3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ =  }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n  +  3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  2n}} - {\rm{3n  +  3}}}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n  +  3}}} \right)\left( {{\rm{2n  +  1}}} \right)}}{\rm{ >  0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ >  0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n  +  1 }}}}{\rm{ >  }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Với\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\]ta có:\[{\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \le 1\]

Vậy (un) bị chặn trên.

\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ =  5  =  5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ =  10  =  5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ =  15  =  5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ =  20  =  5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ =  25  =  5}}{\rm{.5}}\]

Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ =  5n}}\].