Cho dãy số (u_n), biết \({u_n} = \sqrt 3 \cos n - \sin n\). Dãy số (u_n) bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M. Tính m + M.

a) Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5.

b) Ta có u5 = u4 + 3 = 11.

c) Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\...................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\)

Cộng theo vế toàn bộ các đẳng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

un = −1 + 3(n – 1) = 3n – 4.

Vậy công thức số hạng tổng quát là un = 3n – 4.

d) Ta có 101 = 3n – 4 Þ n = 35.

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

\[{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{10  +  1}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{10}}}}{{{\rm{11}}}}\].