Cho dãy số (u_n), biết \({u_n} = \sqrt 3 \cos n - \sin n\). Dãy số (u_n) bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M. Tính m + M.

a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} =  - 11\).

Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\). Mặt khác \({u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0\). Nên suy ra dãy (un) bị chặn trên bởi số 1.

Trả lời: 1.