Cho cấp số nhân có hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng \(\frac{1}{{16}}\).

a) Công bội q của cấp số nhân đã cho là số dương.

b) Số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là u₁ = 2.

c) Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là \({u_{10}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9}\).

d) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân bằng \(\frac{{1023}}{{256}}\).

a) b) Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{u_3} = 1\\{u_3}{u_5} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{u_1}{q^2} = 1\\{u_1}{q^2}.{u_1}{q^4} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{q^2} = 1\\u_1^2{q^6} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{q^2} = 1\\{q^4} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\).

Vì hai số hạng đầu tiên là các số dương nên u1 > 0 và q > 0 nên \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

c) Ta có \({u_{10}} = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8}\).

d) Ta có \({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{256}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.