Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng \(\frac{1}{2}\), công bội bằng \(\frac{1}{4}\). Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

Tương truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: “Bàn cờ có 64 ô với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt thóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô đầu, ô thứ ba thì lại gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô”. Biết rằng khối lượng của 100 hạt thóc là 20 gam.

a) Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u₁ = 1; q = 2.

b) Số hạt thóc ở ô thứ tám là 2⁸.

c) Tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ là 364 tỉ tấn.

d) Giả sử người đó muốn chở số thóc ở trên 32 ô đầu tiên về bằng tàu thủy, biết rằng mỗi chuyến tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa. Khi đó, người đó cần tối thiểu 85 chuyến tàu để chở hết số thóc đó.

Cho cấp số nhân có hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng \(\frac{1}{{16}}\).

a) Công bội q của cấp số nhân đã cho là số dương.

b) Số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là u₁ = 2.

c) Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là \({u_{10}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9}\).

d) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân bằng \(\frac{{1023}}{{256}}\).

Dân số của một thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là 3%. Hãy ước tính dân số của thành phố A sau 10 năm nữa? (đơn vị triệu người, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).