Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \(4 \cdot \,3{\,^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + 9 \cdot {4^{\log \left( {10x} \right)}} = 13 \cdot \,{6^{1 + \log x}}\).

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \(t = \log x\), phương trình đã cho trở thành\(\,\,4 \cdot \,3{\,^{2 + 2t}} + 9 \cdot \,{4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)

\( \Leftrightarrow \,\,4 \cdot 9{\,^{1 + t}} + 9 \cdot {4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)\[ \Leftrightarrow \,\,4 \cdot \,{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{1 + t}} + 9 - 13 \cdot \,{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{1 + t}} = 0\].

Đặt \(u = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}}\), \(u > 0\), ta được \(4{u^2} - 13u + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \,u = 1\,;\,u = \frac{9}{4}\) (nhận).

Với \(u = 1 \Leftrightarrow \,{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow \,\,t = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\log \,x\, = - 1\, \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}}\) (thỏa mãn).

Với \(u = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow t\, = 1\,\)\( \Leftrightarrow \,\,\log x = 1 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn).

Vậy tích hai nghiệm bằng \(1\).

Đáp án: \(1\).